Er der en reel, konceptuel forskel mellem rationelle og irrationelle tal, eller er forskellene en artefakt af vores nummereringssystem?


Svar 1:

Den begrebsmæssige forskel mellem de to er enorm. Rationelle tal defineres rent algebraisk: du starter med ringen med heltal (som er den mindste ring, hvor der er et element i uendelig rækkefølge - nemlig nummer 1) og tager dets brøkfelt. Dette er en begrænset, rent algebraisk procedure. Ingen analysekoncepter (såsom grænser, konvergens osv.) Er påkrævet. Men for at definere reelle tal har vi brug for analyse. Specifikt har vi brug for forestillingen om en "metrisk" på feltet med reelle tal (som er en matematisk formalisering af begrebet afstand) og forestillingen om "færdiggørelse af et felt i forhold til en metrisk." Sættet med reelle tal defineres som udfyldelsen af ​​feltet med rationelle tal i forhold til standardmetoden (archimedean). Mere konkret er det sættet af ækvivalensklasser for “Cauchy-sekvenserne” af rationelle tal i forhold til standardmetrikken (det er faktisk et felt).

Sættet med rationelle tal er naturligt inkluderet i sættet med reelle tal: hvert rationelt tal x giver anledning til en konstant Cauchy-sekvens (x, x, x, x, ...). Komplementet til sættet med rationelle tal i sættet med reelle tal er det sæt, der kaldes sættet med irrationelle tal. Konkret kan vi repræsentere hvert reelt tal i en decimalform. Dette er bare en bestemt måde at registrere en Cauchy-sekvens på dette nummer (nemlig Cauchy-sekvensen svarende til en decimal repræsentation af et reelt tal er sekvensen for dets første n-cifre for alle n). Men begrebet reelle tal (og dermed irrationelle tal) i sig selv har intet at gøre med en bestemt måde at repræsentere tal på. For eksempel kunne vi i stedet bruge en binær form eller en hvilken som helst anden "base k" -formular. Dette er bare et spørgsmål om repræsentation. Begrebet et reelt tal defineres uafhængigt af en bestemt repræsentation.

Når man først ser på denne definition, bliver det klart, hvor langt mere sofistikerede irrationelle tal er end rationelle tal. Rationelle og irrationelle tal er IKKE to sider af den samme mønt i nogen forstand. For eksempel kan det førstnævnte sæt tælles, og det sidstnævnte er det ikke (dette er konklusionen af ​​den berømte Cantors diagonale argument). Rationelle tal danner et felt (det er et underfelt i feltet med reelle tal), men irrationelle tal gør det ikke.

Jeg vil også nævne, at disse to begreber har mange modstykker i matematik. Vi kan starte med en hvilken som helst ring i stedet for en heltal; for eksempel ringen af ​​Gaussiske heltal (a + bi), hvor i er kvadratroden på -1, og tager dens felt med brøk. Derefter introducerer vi måske en måling på dette felt og tager dens afslutning. For Gaussiske heltal, hvis vi tager standardmetoden (archimedean), får vi som færdiggørelse feltet komplekse tal. Der er en mere generalisering: ud over den arkimediske metrisk for feltet med rationelle tal (eller feltet med fraktioner af en anden ring, som sådan som ringen fra Gaussiske heltal), findes der andre målinger. For eksempel er der for så vidt angår rationelle tal de såkaldte p-adiske målinger for hvert primtal p. Udfyldelsen af ​​feltet med rationelle numre med hensyn til p-adisk metrisk kaldes feltet for p-adiske numre. Disse er lige så interessante at studere som felterne med reelle og komplekse tal, og der har været meget forskning på dette område i de sidste 100 år. Så dit spørgsmål fører os til nogle virkelig fascinerende ideer og konstruktioner. (For mere information, bare Google de koncepter, jeg har fremhævet ovenfor.)


Svar 2:

Ja.

Så snart du definerer dem, er de temmelig forskellige. Rationelle tal er de tal, der kan udtrykkes som forholdet mellem to heltal. Irrationelle tal er dem, der ikke kan. Det har en tendens til at være lettere at beregne og manipulere et vilkårligt rationelt tal, fordi så snart jeg ved, at jeg har et, kan jeg skrive det ned på en måde, der er tilføjelig til tilføjelse, multiplikation, subtraktion og opdeling. Irrationelle opfører sig ikke helt pænt.

Det faktum, at de har multiplikative inverser, gør dem til et felt. Under ovennævnte operationer er de også lukket. Du kan multiplicere to irrationelle tal og ende med en rationel - irrationelle bløder på en måde, som rationaler ikke gør.

Derudover føles (og faktisk er) deres uendeligheder ganske forskellige. Den ene er den forståelige, tænkelige, næsten synlige uendelighed med tællingstallene, og den anden er kontinuumets uforståelige tæthed.

Jeg er sikker på, at der er flere; min viden er begrænset, men de er de mest indlysende.


Svar 3:

Ja.

Så snart du definerer dem, er de temmelig forskellige. Rationelle tal er de tal, der kan udtrykkes som forholdet mellem to heltal. Irrationelle tal er dem, der ikke kan. Det har en tendens til at være lettere at beregne og manipulere et vilkårligt rationelt tal, fordi så snart jeg ved, at jeg har et, kan jeg skrive det ned på en måde, der er tilføjelig til tilføjelse, multiplikation, subtraktion og opdeling. Irrationelle opfører sig ikke helt pænt.

Det faktum, at de har multiplikative inverser, gør dem til et felt. Under ovennævnte operationer er de også lukket. Du kan multiplicere to irrationelle tal og ende med en rationel - irrationelle bløder på en måde, som rationaler ikke gør.

Derudover føles (og faktisk er) deres uendeligheder ganske forskellige. Den ene er den forståelige, tænkelige, næsten synlige uendelighed med tællingstallene, og den anden er kontinuumets uforståelige tæthed.

Jeg er sikker på, at der er flere; min viden er begrænset, men de er de mest indlysende.


Svar 4:

Ja.

Så snart du definerer dem, er de temmelig forskellige. Rationelle tal er de tal, der kan udtrykkes som forholdet mellem to heltal. Irrationelle tal er dem, der ikke kan. Det har en tendens til at være lettere at beregne og manipulere et vilkårligt rationelt tal, fordi så snart jeg ved, at jeg har et, kan jeg skrive det ned på en måde, der er tilføjelig til tilføjelse, multiplikation, subtraktion og opdeling. Irrationelle opfører sig ikke helt pænt.

Det faktum, at de har multiplikative inverser, gør dem til et felt. Under ovennævnte operationer er de også lukket. Du kan multiplicere to irrationelle tal og ende med en rationel - irrationelle bløder på en måde, som rationaler ikke gør.

Derudover føles (og faktisk er) deres uendeligheder ganske forskellige. Den ene er den forståelige, tænkelige, næsten synlige uendelighed med tællingstallene, og den anden er kontinuumets uforståelige tæthed.

Jeg er sikker på, at der er flere; min viden er begrænset, men de er de mest indlysende.