Hvad er den "fysiske" forskel mellem punkt- og krydsprodukter fra to vektorer?


Svar 1:

Vector Dot-produkt er er er en algebraisk operation, der tager to lige lange sekvenser af tal (normalt koordinatvektorer) og returnerer et enkelt tal (holder analogi med multiplikation af reelt tal.), Dvs.

Lad nu a & b være to vektorer i 3D-kartesiske koordinater

I henhold til lov om kosinus til trekant AOB får vi,

hvor | AB | = | a - b | , | OA | = | a | , | OB | = | b | Så,

Så geometrisk definition af Dot-produkt er (Fra Dot-produkt - Roblox Wiki)

For at starte med, lad os have en definition for det punktprodukt, der er givet vektorerne A og B.

“Den skalære projektion af A til B ganget med størrelsen af ​​B”

“Den skalære projektion af B på A ganget med størrelsen af ​​A”

Denne definition kan naturligvis lade dig undre dig over, hvad en skalærprojektion er, og endnu vigtigere, hvordan du beregner den. En skalærprojektion er det beløb, som en vektor rejser i en anden vektors retning. Så hvis vi siger, at vi vil have projicering af A på B, vil vi gerne vide, hvor meget af vektor A, der går i samme retning som vektor B, og omvendt til projicering af B på A.

Således kaldes det også undertiden det skalære produkt, det indre produkt, eller sjældent projektionsproduktet.

Igen ,

Vector Cross produkt (lejlighedsvis rettet arealprodukt for at understrege den geometriske betydning) er en binær operation på to vektorer i tredimensionelt rum, hvilket resulterer i en vektor, der er vinkelret på begge vektorer og dermed normal på det plan, der indeholder dem. I det virkelige liv er der mange fænomener, ligesom hvor 2 vektorkvalitet fungerer i planet, men den resulterende vektor er normal begge vektorer. Den enkleste er skruemekanisme, der åbner eller lukker flaskehætten

Lad nu a & b være to vektorer i 3D-kartesiske koordinater. At finde en vektor c, der er vinkelret på begge vektorer. Ifølge Dot Product, a. c = 0 & b. c = 0.

Dermed,

Løse eqs,

Fra definition, c = a × b

Tager værdien af ​​vektoren,

Fra punktprodukt af a & b

Dermed,


Svar 2:

Ud over tidligere svar:

disse to er grundlæggende og konceptuelt forskellige.

Dotproductisanexternalproduct.Itassignstoeachpairofvectorsareal(orcomplex,ifweareoverC)numberwithcertainproperties(symmetricorsymplectic).Itisaveryspecialcaseofthegeneralconceptofascalarproduct,thatgoeswaybeyond[math]R2[/math]and[math]R3.[/math]Dot product is an “external product”. It assigns to each pair of vectors a real (or complex, if we are over \mathbb{C} ) number with certain properties (symmetric or symplectic). It is a very special case of the general concept of a scalar product, that goes way beyond [math]\mathbb{R}^2[/math] and [math]\mathbb{R}^3. [/math]

C\mathbb{C}

)numberwithcertainproperties(symmetricorsymplectic).Itisaveryspecialcaseofthegeneralconceptofascalarproduct,thatgoeswaybeyondR2and[math]R3.[/math] ) number with certain properties (symmetric or symplectic). It is a very special case of the general concept of a scalar product, that goes way beyond \mathbb{R}^2 and [math]\mathbb{R}^3. [/math]

ThecrossproductincontrastisaninternalproductinR3only.Itassignseachpairofvectorsavectorinthesamespace[math]R3[/math],soitissomethinglikeamultiplicationin[math]R3.[/math]The cross-product in contrast is an “internal” product in \mathbb{R}^3 only. It assigns each pair of vectors a vector in the same space [math]\mathbb{R}^3[/math], so it is something like a multiplication in [math]\mathbb{R}^3.[/math]

Itisnotcommutative,infacta×b=b×a.Alsoitisnotassociative.InsteadaLiealgebraidentityholds:[math]a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0.[/math]It is not commutative, in fact a\times b = - b \times a. Also it is not associative. Instead a Lie algebra identity holds: [math]a\times(b\times c) + b\times (c\times a) + c\times (a\times b)=0.[/math]

R3endowedwiththecrossproductisasimple(maybethemostsimple)exampleofanotherfundamentalmathematicalstructure:Liealgebras. \mathbb{R}^3 endowed with the cross product is a simple (maybe the most simple) example of another fundamental mathematical structure: Lie algebras.

R3\mathbb{R}^3

only.ItassignseachpairofvectorsavectorinthesamespaceR3,soitissomethinglikeamultiplicationin[math]R3.[/math]only. It assigns each pair of vectors a vector in the same space \mathbb{R}^3, so it is something like a multiplication in [math]\mathbb{R}^3.[/math]

Det er faktisk ikke kommutativt

a×b=b×aa\times b = - b \times a

.Alsoitisnotassociative.InsteadaLiealgebraidentityholds:a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0.. Also it is not associative. Instead a Lie algebra identity holds: a\times(b\times c) + b\times (c\times a) + c\times (a\times b)=0.

R3 \mathbb{R}^3

 udstyret med krydsproduktet er et simpelt (måske det mest enkle) eksempel på en anden grundlæggende matematisk struktur: Lie algebras.


Svar 3:

Ud over tidligere svar:

disse to er grundlæggende og konceptuelt forskellige.

Punktprodukt er et ”eksternt produkt”. Det tildeler hvert vektorpar et rigtigt (eller komplekst, hvis vi er ovre)

C\mathbb{C}

)numberwithcertainproperties(symmetricorsymplectic).Itisaveryspecialcaseofthegeneralconceptofascalarproduct,thatgoeswaybeyondR2and[math]R3.[/math] ) number with certain properties (symmetric or symplectic). It is a very special case of the general concept of a scalar product, that goes way beyond \mathbb{R}^2 and [math]\mathbb{R}^3. [/math]

Scalarprodukter definerer måling af vinkler og længde på en meget generel måde. Hver gang du har fået et vektorrum udstyret med et skalarprodukt, så visse naturlige fuldstændighedsbetingelser er opfyldt, har du et eksempel på et Hilbert-rum.

Hilbert-rum tillader ortogonale nedbrydninger, hvor kun de mest elementære eksempler er Fourier-nedbrydning og bølger.

Krydsproduktet derimod er et "internt" produkt i

R3\mathbb{R}^3

only.ItassignseachpairofvectorsavectorinthesamespaceR3,soitissomethinglikeamultiplicationin[math]R3.[/math]only. It assigns each pair of vectors a vector in the same space \mathbb{R}^3, so it is something like a multiplication in [math]\mathbb{R}^3.[/math]

Det er faktisk ikke kommutativt

a×b=b×aa\times b = - b \times a

.Alsoitisnotassociative.InsteadaLiealgebraidentityholds:a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0.. Also it is not associative. Instead a Lie algebra identity holds: a\times(b\times c) + b\times (c\times a) + c\times (a\times b)=0.

R3 \mathbb{R}^3

 udstyret med krydsproduktet er et simpelt (måske det mest enkle) eksempel på en anden grundlæggende matematisk struktur: Lie algebras.


Svar 4:

Ud over tidligere svar:

disse to er grundlæggende og konceptuelt forskellige.

Punktprodukt er et ”eksternt produkt”. Det tildeler hvert vektorpar et rigtigt (eller komplekst, hvis vi er ovre)

C\mathbb{C}

)numberwithcertainproperties(symmetricorsymplectic).Itisaveryspecialcaseofthegeneralconceptofascalarproduct,thatgoeswaybeyondR2and[math]R3.[/math] ) number with certain properties (symmetric or symplectic). It is a very special case of the general concept of a scalar product, that goes way beyond \mathbb{R}^2 and [math]\mathbb{R}^3. [/math]

Scalarprodukter definerer måling af vinkler og længde på en meget generel måde. Hver gang du har fået et vektorrum udstyret med et skalarprodukt, så visse naturlige fuldstændighedsbetingelser er opfyldt, har du et eksempel på et Hilbert-rum.

Hilbert-rum tillader ortogonale nedbrydninger, hvor kun de mest elementære eksempler er Fourier-nedbrydning og bølger.

Krydsproduktet derimod er et "internt" produkt i

R3\mathbb{R}^3

only.ItassignseachpairofvectorsavectorinthesamespaceR3,soitissomethinglikeamultiplicationin[math]R3.[/math]only. It assigns each pair of vectors a vector in the same space \mathbb{R}^3, so it is something like a multiplication in [math]\mathbb{R}^3.[/math]

Det er faktisk ikke kommutativt

a×b=b×aa\times b = - b \times a

.Alsoitisnotassociative.InsteadaLiealgebraidentityholds:a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0.. Also it is not associative. Instead a Lie algebra identity holds: a\times(b\times c) + b\times (c\times a) + c\times (a\times b)=0.

R3 \mathbb{R}^3

 udstyret med krydsproduktet er et simpelt (måske det mest enkle) eksempel på en anden grundlæggende matematisk struktur: Lie algebras.